소수의 개수는 무한하다는 명제에 대한 유클리드의 증명

(정리) 소수는 무한히 많다
(증명)
소수의 개수가 유한하다고 가정하고, $p_1,p_2,\cdots ,p_r$ 가 모든 소수의 목록이라 하자.
자연수 $N=p_1{p}_2\cdots p_r+1$ 을 정의하자.
$N$ 은 각 소수$p_i$ 으로 나누어 나머지가 1이므로, 1과 자신 이외의 약수를 가지지 않는다.
따라서 $N$ 은 소수이다.
한편 N은 $p_1,p_2,\cdots ,p_r$ 와 같지 않으므로, 기존의 목록에 있지 않은 새로운 소수가 된다.
이것은 가정에 모순이 된다.
따라서 유한다다는 가정은 잘못 되었고 소수의 개수는 무한하다.

  유클리드의 증명입니다. [교양인을 위한 수학사 강의]를 읽다가 이 증명법을 간소화한 , r개까지 아닌 3개를 가지고 증명한 것을 보고 처음엔 아주 기초적인 귀류법일 뿐이라고 생각하고 넘겼습니다. 그런데 생각해보니 어쩐지 께름직한 것입니다. 아침에 일어나서 그 증명법을 다시 훑어 보았습니다. 이 증명법은 '2'라는 유일한 짝수 소수가 있기 때문에 가능한 증명법입니다. 소수 중 짝수는 '2' 하나 뿐입니다.
  '2'를 빼고 이 증명법을 쓴다면 이 증명법은 잘못 되었습니다.
- '2'를 빼면 소수가 모두 홀수 입니다. 홀수끼리의 곱은 항상 홀수입니다.
- 따라서 모든 소수의 곱에 '1'을 더한 $N=p_1{p}_2\cdots p_r+1$ 는 짝수가 됩니다. 따라서 N은 짝수이므로 소수가 아닌 합성수입니다.

  그렇기 때문에 이 증명법을 쓰려면 '2'의 존재를 먼저 인정하고 들어가야 합니다. 물론 유클리드는 아무나 수학을 공부하지 못했던 시기 전문가를 대상으로 했다면 넘어갈 수 있지만 ;교양인을 위한'이라는 제목을 달고 있는 이 책을 쓴 '이언 스튜어트'는 자신이 대학교수이고 영국왕립협회 특별회원까지 된다면 '교양인'을 위한 대중서에 이런 설명을 해놓았어야 합니다.